加法定理
２つの事象A、Bが排反でない場合、事象Aまたは事象Bがおこる確率
Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ∩Ｂ）
２つの事象が排反である（同時に起こりえない）場合、事象Aかつ事象Bがおこる確率
Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）
＜例題1＞
「袋の中に赤玉３個、白玉２個が入っているとき、この中から同時に２個取り出して同じ色の玉が出る確率」を求めなさい。
「同じ色の玉が出る」ことを「赤玉が２つ」の場合と「白玉が２つ」に分けて考える。
赤玉が２つ出る確率は3C2/5C2= 3/10
白玉が２つ出る確率は2C2/5C2= 1/10
⇒ 3/10＋1/10＝2/5 が答えとなる。
この例では、A「赤玉が２つ出る」、B「白玉が２つ出る」、とするとき、Ａ∩Ｂ＝なので（AとBの共通部分がない）どちらか一方が起こる確率は「足し算で求められる」。
Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）
＜例題2＞
「1から100までの整数が書かれている100枚のカードから１枚を抽出したとき、その数が3または5で割り切れる確率」を求めなさい。
3の倍数となる確率は33/100
5の倍数となる確率は20/100
15の倍数となる確率は6/100（排反でない場合）
⇒ 33/100＋20/100－6/100＝47/100となり、答えとなる。
この例では、A「3の倍数」、B「5の倍数」、とするとき、AとBの共通部分があるので、単にP(A)+P(B)を計算すると二重に足してしまう部分ができる。そこで、二重の部分P(A∩B)を引いて答えにする。
Ｐ（Ａ∪Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ∩Ｂ）
乗法定理
２つの事象A、Bが独立である場合、事象Aかつ事象Bが同時におこる確率
Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)×Ｐ(Ｂ)
事象Aが起こったという条件下で事象Bが起こる確率（条件付き確率）
Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)×Ｐ(Ｂ|Ａ)
＜例題1＞
袋の中に当りくじ２個、はずれくじ３個、合計5個のくじが入っている。
Ｘ、Ｙの２人がこの順にくじを１個ずつ引き、引いたくじは元に戻さないとき、Ｘが当り、Ｙがはずれる確率を求めなさい。
Ｘが当たりくじを引くという事象をＡで、Ｙがはずれくじを引くという事象をＢで表わすと
Ｐ(Ａ)＝2/5
Ｘが当りくじを引いたとき、残り4個のくじの中に当り１個、はずれ3個となるから、
P（B|A）＝3/4
ゆえに、Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)×Ｐ（Ｂ|Ａ）＝3/10
Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)×Ｐ(Ｂ|Ａ)
＜例題2＞
袋の中に当りくじ２個、はずれくじ３個、合計5個のくじが入っている。Ｘ、Ｙの２人がこの順にくじを１個ずつ引き、引いたくじは元に戻さないとき、ＸとＹのどちらが有利か。
Ｘが当たる確率は2/5・・・(1)
Ｙが当たるのは、「Ｘが当たってＹも当たる場合」と「ＸがはずれてＹが当たる場合」がある。
＝2/5×1/4＋3/5×2/4＝2/5・・・(2)
(1)(2)は等しいので、Ｘ、Ｙの当たる確率は等しい。
先に引いた人が当たるのを見たら後に引く人は当たりにくくなり、先に引いた人がはずれるのを見たら後に引く人は当たりやすくなるが、始めの時点で考えれば、「くじに当たる確率は、引く順序に関係ない。」
【確率の基本定理】