応用数学
待ち行列理論(M/M/1)
例えば、1台のネットワーク・プリンタに複数の要求が並んで順番を待っています。
このとき、要求を送信してから印刷が完了するまでの時間は「（プリンタが使用可能になるのを）待っている時間」、「プリンタを使用している時間」、「その他の時間（通信時間など）」の合計になります。
ここで待っている時間と、使用している時間、および要求が到着する間隔に着目して、これらの関係を理論式で推測していくのが待ち行列理論です。
Ｍ／Ｍ／１というのはケンドールの記法で待ち行列のモデルで、以下の三つの条件が成り立っている状態を指します。
① サービス要求の到着間隔がランダム（ポアゾン分布）
② 窓口を使用する時間は要求ごとにランダム（指数分布）
③ 待ち行列のサービス窓口は1個
※ 約束事： 行列へ割り込んだり、列の途中で抜け出すことは考えない。
サービス要求は到着順に受け付ける。
利用率と到着率とサービス率
利用率をρ（ロー）、到着率をλ（ラムダ）、サービス率をμ（ミュー）とした場合、次の式が成り立ちます。
例えば、Webサーバへのアクセスの単位時間を1時間にした場合、到着するサービス要求が12件、サーバーが処理できる要求数が20件だった場合の利用率は、12÷20＝0.6ということになります。
M/M/1の公式
M/M/1の待ち行列において、待ち時間をTw、平均サービス時間をTsとしたとき、次の式が成り立ちます。
例えば、利用率が0.6で平均サービス時間が3分の場合、上記の式に当てはめると、
0.6÷（1－0.6）×3（分）＝ 4.5（分）となります。
- トランザクション数又は平均到着率 λ ＝単位時間に到着する客数の平均値
- 平均サービス率 μ ＝単位時間にサービスを受ける客数の平均値
- 平均サービス時間 Ts ＝１/ μ
- 平均到着間隔 Ta ＝１/ λ
- 窓口利用率 ρ ＝ λ/ μ
- 平均待ち行列時間 Tw ＝ ρ× Ts/（１－ ρ）
- 待ち行列の平均長さ Lw ＝ ρ２/（１－ ρ）＝ λ× Tw
- 平均待ち（応答）時間 Tq ＝ Ts /（１－ ρ）＝ Tw＋ Ts
- 待ち系の平均長さ Lq ＝ ρ/（１－ ρ）＝ Lw＋ λ/ μ
